4.3 Rysowanie wykresów funkcji y=f(x+a), y=f(x)+a, znając wykres y=f(x).
W wielu sytuacjach życiowych mamy do czynienia z funkcjami, np. w statystyce gdy podana jest tabela z danymi statystycznymi, to określa ona pewne przyporządkowanie, wg którego każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada element należący do drugiego zbioru.
Definicja
- argument funkcji
lub - wartość funkcji
- dziedzina funkcji
- przeciwdziedzina funkcji
- zbiór wartości funkcji
Zapisujemy funkcje małymi literami
- funkcja odwzorowujaca zbiór w zbiór
- funkcja odwzorowuje zbiór na zbiór
- zapis funkcji używany przy wykresie
Dane jest odwzorowanie: każdej liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowujemy jej kwadrat. Podaj dziedzinę i zbiór wartości oraz zapisz tę funkcję.
Zauważ, że podane zdanie spełnia warunki definicji funkcji, gdyż dowolnej liczbie naturalnej odpowiada dokładnie jedna liczba, która jest jej kwadratem. Użyty został zapis słowny funkcji.
Rozwiązanie.
- liczba naturalna,
- wartość funkcji dla argumentu
Zapisujemy funkcję w postaci wzoru
Jest to ciąg liczbowy, który zapisujemy również
Dziedzina
Przeciwdziedzina
Zbiór wartości
Często funkcję zapisujemy w postaci co praktycznie oznacza zbiór wszystkich uporządkowanych par gdzie jest wartością funkcji dla argumentu
Zbiór takich par tworzy w układzie współrzędnych wykres funkcji
Zauważ, że w podanym przykładzie wykres będzie nieskończonym zbiorem punktów zaznaczonych w prostokątnym układzie współrzędnych leżących na paraboli w prawej półpłaszczyżnie o współrzędnych
Przekształcanie wykresów funkcji
Znając wykres funkcji mamy za zadanie narysowanie wykresów, które uzyskujemy przy użyciu pewnych przekształceń geometrycznych.
Przesunięcia punktów wzdłuż osi układu współrzędnych
W wyniku przesunięcia punktu w układzie współrzędnych uzyskujemy punkt który nazywamy obrazem punktu
Przesuńmy wzdłuż osi punkty
o jednostki
o jednostki
Jakie obrazy otrzymamy?
Rozwiązanie.
Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza zaznaczenie punktu na prawo od danego punktu w linii równoległej do osi
Obrazami punktów w tym przekształceniu są
Odczytujemy współrzędne
Uzyskane punkty mają drugie współrzędne (rzędne) takie same, a pierwsze (odcięte) zwiększone o
Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza zaznaczenie punktu na lewo od danego punktu w linii równoległej do osi
Obrazami punktów w tym przekształceniu są
Odczytujemy współrzędne
Uzyskane punkty mają drugie współrzędne (rzędne) takie same, a pierwsze (odcięte) zmniejszone o
Jeśli przesuwamy w prawo. Jeśli przesuwamy w lewo.
Znane są punkty
Podaj regułę, wg której po przesunięciu wzdłuż osi uzyskamy z powrotem punkty
Skorzystaj z rysunku podanego w przykładzie powyżej.
Rozwiązanie.
Korzystając z rysunku zauważamy, że odcięte punktów należy zmniejszyć o aby uzyskać punkty
Przesuńmy wzdłuż osi punkty
o jednostki
o jednostki
Jakie obrazy otrzymamy?
Rozwiązanie.
Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza przeniesienie punktu do góry względem danego punktu w linii równoległej do osi
Obrazami punktów w tym przekształceniu są
Odczytujemy współrzędne
Uzyskane punkty mają odcięte takie same, a rzędne zwiększone o
Przesunięcie o jednostki wzdłuż osi oznacza przeniesienie punktu do dołu względem danego punktu w linii równoległej do osi
Punkty w tym przekształceniu zostały przesunięte do
Odczytujemy współrzędne
Uzyskane punkty mają odcięte takie same, a rzędne zmniejszone o
Po przesunięciu punktu wzdłuż osi o jednostek liczbę dodajemy do rzędnej punktu i otrzymujemy punkt gdzie
Jeśli przesuwamy do góry. Jeśli przesuwamy do dołu.
Znane są punkty
Podaj regułę, wg której po przesunięciu wzdłuż osi uzyskamy z powrotem punkty
Skorzystaj z rysunku do poprzedniego przykładu.
Rozwiązanie.
Korzystając z rysunku zauważamy, że rzędne punktów należy zmniejszyć o aby uzyskać punkty
Przesunięcia wykresów funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych
Dany jest na rysunku wykres funkcji i dwa wykresy
Który z wykresów funkcji czy jest uzyskany z przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi a który wzdłuż osi i o ile jednostek?
Rozwiązanie.
Wykresy funkcji są figurami przystającymi, każdy jest łamaną zbudowaną z dwóch odcinków.
Wykresy dwóch funkcji wskazują, że funkcje mają taką samą dziedzinę, jeden z nich jest krzywą uzyskaną z przesunięcia do dołu, wzdłuż osi o wykresu Każdy punkt wykresu funkcji ma rzędną zmniejszoną o w stosunku do rzędnej odpowiedniego punktu wykresu funkcji
Wniosek 1
Dla funkcji uzyskanej z przesunięcia do dołu o wzdłuż osi można zauważyć, że wartości funkcji są mniejsze o od wartości funkcji dla tych samych argumentów
Zatem dla
Krzywą można uzyskać z przesunięcia wykresu funkcji w pierwszym etapie wzdłuż osi do dołu o a w drugim etapie wzdłuż osi o w prawo.
I etap
Po przesunięciu do dołu wzdłuż osi z wykresu funkcji uzyskamy wykres funkcji
dla
II etap
Zaznaczmy wykresy funkcji na osobnym rysunku.
Wniosek 2
Zauważmy, że obie funkcje mają te same wartości funkcji dla argumentów różniących się o
I tak
Zatem można napisać wzór na w zależności od
Zauważ, że efekt uzyskania wykresu funkcji w wyniku przesunięć wykresu funkcji uzyskamy taki sam jeśli w pierwszym etapie krzywą przesuniemy w prawo wzdłuż osi o i w drugim etapie uzyskany wykres przesuniemy o wzdłuż osi
Z wykresów funkcji podanych na rysunku wybierz ten, który można otrzymać z przesunięcia wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych .
Rozwiązanie.
Każdy wykres na rysunku jest prostą, ale tylko dwa są do siebie równoległe.
Z rysunku można zauważyć, że każdy punkt wykresu można przesunąć o do góry wzdłuż osi i otrzymać prostą Proste te są do siebie równoległe.
Można zapisać, że z przesunięcia o wzdłuż osi
Prostej nie uzyskamy przesuwając wykres funkcji wzdłuż osi lub wzdłuż osi Potrzebujemy do tego wykorzystać inne przekształcenie geometryczne np. obrót.
Zauważ, że prostą można uzyskać z przesunięcia wykresu w lewo wzdłuż osi o Zatem można zapisać w postaci
Przedstawienie funkcji w postaci dwóch związków z funkcją sprawdzimy na podstawie wzoru funkcji
Otóż
Wtedy daje wzór czyli
Podobnie daje wzór czyli
Jakiego przekształcenia dokonać, aby z wykresu funkcji otrzymać wykresy funkcji z podanego rysunku?
Podaj wzory funkcji przy pomocy Ustal miejsca zerowe funkcji i podaj funkcję, dla której miejsce zerowe możesz odczytać znając miejsce zerowe funkcji
Dla funkcji liczba jest miejscem zerowym, gdy
Np. dla funkcji liczba jest miejscem zerowym, bo
Rozwiązanie.
Na rysunku wykres funkcji leży na prawo od wykresu funkcji a wykres funkcji poniżej wykresu
Wszystkie wykresy są figurami przystającymi.
Wykres funkcji jest otrzymany z przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostki w prawo, zatem wzór funkcji zapisany przy pomocy funkcji ma postać
Wykres funkcji jest otrzymany z przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostkę do dołu, zatem wzór funkcji zapisany przy pomocy funkcji ma postać
Ustalamy miejsca zerowe funkcji
- Dla funkcji
- Dla funkcji
I warto zauważyć, że
oznacza wobec
równanie
Ponieważ funkcja przyjmuje wartość dla argumentu to
Zatem miejsce zerowe funkcji można odczytać znając miejsce zerowe funkcji której wykres został przesunięty wzdłuż osi do położenia wykresu funkcji
Wniosek
Jeżeli dane są funkcje oraz jest miejscem zerowym funkcji to miejsce zerowe funkcji jest równe
- Dla funkcji
Z rysunku odczytujemy, że miejscami zerowymi funkcji są liczby
Ze wzoru zauważamy, odczytane miejsca zerowe jako rozwiązania równania są rozwiązaniami równania a nie
Odczytaj z rysunku przesunięcie względem osi układu współrzędnych
wykresu funkcji tak, aby otrzymać wykres funkcji i podaj wzór na w zależności od
wykresu funkcji tak, aby otrzymać wykres funkcji i podaj wzór na w zależności od
wykresu funkcji tak, aby otrzymać wykres funkcji i podaj wzór na w zależności od
Jeżeli wykres funkcji przesuniemy do góry wzdłuż osi o jednostki
otrzymujemy przesunięcie:
punktu należącego do wykresu funkcji do punktu należącego do wykresu
odcinek o końcach w punktach przesuwamy tak, że pokryje się z odcinkiem o końcach
odcinek o końcach przejdzie na odcinek o końcach
Zatem z wykresu funkcji otrzymamy wykres funkcji po przesunięciu wzdłuż osi o do góry.
- Wzór funkcji
Wykres funkcji przesuwamy wzdłuż osi w lewo tak, aby np. punkt przekształcić na punkt Przesunięcie jest więc wzdłuż osi o
- Wzór funkcji przy pomocy funkcji
Aby z wykresu funkcji otrzymać wykres funkcji można go w pierwszym kroku przesunąć o jednostki do góry wzdłuż osi a w drugim kroku przesunąć o jednostki w lewo wzdłuż osi
I krok
Przesunięcie wykresu funkcji o wzdłuż osi pozwala napisać wzór uzyskanej funkcji, otrzymujemy
II krok
Po przesunięciu wzdłuż osi o punkt wykresu przechodzi na punkt wobec tego trzeba dokonać następnego przesunięcia o wzdłuż osi
Otrzymujemy wtedy wykres funkcji z wykresu
- Wzór funkcji
Odp.
Dana jest funkcja w postaci tabeli
Przesuń wykres funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych tak, aby miejsce zerowe funkcji po przesunięciu było
Zbuduj tabelę uzyskanej funkcji.
Przesunięcie funkcji wzdłuż osi zmienia argumenty funkcji zachowując wartości funkcji, a wzdłuż osi zachowuje argumenty zmieniając wartości funkcji.
Wobec tego należy przesunąć funkcję wzdłuż osi
Istnieje liczba a taka, że funkcja ma miejsce zerowe Zatem
Miejsce zerowe funkcji wobec tabeli, jest jedno, więc
Funkcja po przesunięciu jest postaci
Budujemy tabelę
Odp.
Podaj jaką postać funkcji otrzymasz po przesunięciu wykresu funkcji
a) o wzdłuż osi
b) o wzdłuż osi i następnie o jednostki w prawo wzdłuż osi
c) w lewo o jednostki wzdłuż osi
A wtedy po przesunięciu otrzymujemy wykres funkcji
Przesuwamy wykres funkcji o wzdłuż osi i następnie o jednostki w prawo wzdłuż osi
Dokonujemy przesunięcia o wzdłuż osi otrzymujemy wykres funkcji
Przesuwamy otrzymany wykres o jednostki w prawo wzdłuż osi
i otrzymujemy wykres funkcji
Przesunięcie w lewo o jednostki wzdłuż osi daje wzór funkcji w postaci
Odp. a) b) c)
Podaj przesunięcie wykresu funkcji takie, aby otrzymać wykres funkcji
a)
b)
c)
Aby z otrzymać trzeba wykres funkcji przesunąć o jednostki do dołu wzdłuż osi
Aby z otrzymać trzeba wykres funkcji przesunąć o jednostki w lewo wzdłuż osi czyli o wzdłuż osi a następnie o do dołu wzdłuż osi
Odp. a) O jednostki w prawo wzdłuż osi b) O jednostki do dołu wzdłuż osi c) O jednostki w lewo wzdłuż osi i o do dołu wzdłuż osi
Wykonaj w kolejności
Krok 1.
Punkty przesuń odpowiednio: do położenia czyli gdzie oraz podaj jakich przesunięć dokonałeś.
Krok 2.
Połącz uzyskane punkty oznaczając je przez aby uzyskać figurę geometryczną
Przesuń ją o najpierw wzdłuż osi a następnie wzdłuż osi
Oznacz figurę po przesunięciu używając zapisów
Podaj długości odcinków
Krok 2. Ze współrzędnych punktów po przekształceniu odczytaj długości potrzebnych odcinków.
Rozwiązanie.
Krok 1.
Dane punkty
spełniają warunki stąd punkt przesuwamy wzdłuż osi a punkt przesuwamy wzdłuż osi i to w pierwszym przypadku o
do dołu, a w drugim o jednostki w prawo, natomiast punkt trzeba przesunąć wzdłuż osi o jednostki do góry.
Krok 2.
Sporządzamy rysunek i nanosimy oznaczenia
Otrzymaną figurą po połączeniu punktów jest trójkąt prostokątny i po przesunięciu otrzymujemy trójkąt przystający do niego o wierzchołkach
Ustalamy długości odcinków, które są przeciwprostokątnymi odpowiednich trójkątów prostokątnych
- z trójkąta
Podobnie
- odpowiednio z trójkątów
Odp. Krok 1. - wzdłuż osi o -wzdłuż osi o - wzdłuż osi o
Krok 2. Długości odcinków są równe
Na rysunku dane są wykresy
Podaj miejsce zerowe funkcji i punkt przecięcia funkcji z osią
Rozwiązanie.
Oznaczenie
Z rysunku odczytujemy wartość funkcji dla argumentu i miejsce zerowe funkcji
Zatem podstawiając do wzorów funkcji mamy
Wykres funkcji przecina oś w punkcie a funkcja ma miejsce zerowe
Odp. - miejsce zerowe; - punkt przecięcia z osią
Dana jest funkcja której wykres zwany parabolą przedstawiono na rysunku.
Punkt przesuwamy o jednostki w prawo wzdłuż osi
Podaj: wzór funkcji po tym samym przesunięciu oraz argument w którym funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.
Rozwiązanie.
Wobec reguły obraz punktu uzyskany w przesunięciu wzdłuż osi o jednostek ma współrzędne
co dla daje
Wzór funkcji po przesunięciu jest postaci
Punkt po przesunięciu ma obraz
Tak więc argument, dla którego wartość funkcji jest najmniejsza jest
Odp.
Punkty o odciętej o odciętej należą do prostej, która jest wykresem funkcji Prostą przesunięto wzdłuż osi tak aby po przesunięciu przechodziła przez punkt a obrazy punktów oznaczono Oblicz długości odcinków
Rozwiązanie.
Obliczamy rzędne punktów
Punkt ma odciętą równą i rzędną równą
Zatem z trójkąta prostokątnego
Po przesunięciu proste są równoległe, a punkt jest obrazem punktu wspólnego prostej i osi czyli punktu
Zatem wykres funkcji przesunięto o w górę wzdłuż osi
Obliczamy rzędne punktów
Przy przesunięciu wzdłuż osi odcięte punktów się zachowują, zatem
Współrzędne wierzchołka trójkąta prostokątnego obliczamy podobnie jak dla punktu
Z trójkąta
Odp.
Z podanego na rysunku wykresu funkcji po przesunięciu wzdłuż osi i osi otrzymano wykres funkcji Podaj przesunięcia wzdłuż obu osi aby z jednego wykresu otrzymać drugi.
Ustalimy przesunięcie wierzchołka do
Odpowiednie współrzędne tych punktów nie są takie same, a więc trzeba dokonać przesunięcia wzdłuż obu osi.
Aby z punktu otrzymać punkt trzeba przesunąć dany punkt wzdłuż osi do góry i wzdłuż osi w prawo.
Krok 1.
Przesuwamy punkt do góry o wzdłuż osi i otrzymujemy punkt
Z wykresu funkcji
otrzymamy wykres funkcji
Krok 2.
Otrzymany punkt ma taką samą drugą współrzędną jak punkt Wobec tego przesuwamy punkt o jednostki w prawo wzdłuż osi
Z wykresu funkcji
otrzymamy przy tym przesunięciu
czyli
Dokonując przesunięcia wykresu wzdłuż osi o a następnie wzdłuż
osi o otrzymujemy wykres funkcji
Przesuwamy wykres do położenia
Wystarczy oczywiście przesunąć o jednostki w lewo wzłuż osi i o jednostki do dołu wzdłuż osi
Odp. Wykres przesuwamy wzdłuż osi o a następnie wzdłuż osi o i otrzymujemy wykres funkcji
Wykres przesuwamy wzdłuż osi o iwzdłuż osi o do położenia
Do góry ∧
- Szkoła Podstawowa (4-6)
- 1. Liczby naturalne
- 2. Liczby całkowite
- 3. Ułamki zwykłe i dziesiętne
- 4. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych
- 5. Elementy algebry
- 6. Proste i odcinki
- 7. Kąty
- 8. Wielokąty, koła i okręgi
- 9. Bryły
- 9.1 Figury przestrzenne. Bryły....
- 9.2 Siatki brył: graniastosłup ...
- 9.3 Pole i objętość ...
- 9.4 Zamiana jednostek długości....
- 9.4.2 Obwody wielokątów z ...
- 9.4.3 Podstawowe jednostki pola. ...
- 9.4.4 Pola wielokątów z ...
- 9.4.5 Poznawanie jednostek ...
- 9.4.6 Miary kątów wielokąta. ...
- Klasówki (9)
- 10. Obliczenia praktyczne
- 11. Elementy statystyki opisowej
- 12. Zadania tekstowe
- Klasy IV-VI reforma 2017...
- Wzory
- Nauczyciele
- Arkusze maturalne CKE matematyka
- Arkusze maturalne próbne MegaMatma z matematyki
- Wszystkie klasówki (200)
- Szkoła Podstawowa (7-8)
- 1. Liczby wymierne dodatnie
- 1.1 Liczby w systemie rzymskim....
- 1.2 Ułamki zwykłe, rozszerzanie ...
- 1.2.2 Liczby wymierne....
- 1.2.3 Dodawanie i odejmowanie ...
- 1.2.4 Ułamki dziesiętne....
- 1.2.5 Mnożenie i dzielenie liczb ...
- 1.3 Działania na liczbach ...
- 1.4 Działania na ułamkach ...
- 1.5 Zamiana ułamków zwykłych ...
- 1.6 Zamiana ułamków ...
- 1.7 (>R) Zamiana liczby ...
- 1.8 Zaokrąglanie rozwinięć ...
- 1.9 Wartości wyrażeń ...
- 1.10 Zastosowanie zamiany ...
- Klasówki (24)
- 2. Liczby wymierne dowolne
- 3. Potęgi
- 4. Pierwiastki
- 5. Procenty
- 6. Wyrażenia algebraiczne
- 6.1 Zapisywanie i czytanie ...
- 6.2 Wartość liczbowa wyrażenia ...
- 6.3 Redukcja wyrazów podobnych. ...
- 6.4 Dodawanie i odejmowanie sum ...
- 6.5 Mnożenie sum algebraicznych ...
- 6.6 Kwadrat sumy wyrażeń ...
- 6.7 Różnica kwadratów ...
- 6.8 Wyłączanie wspólnego ...
- 6.9 Wyznaczanie podanej ...
- 6.10 (>R) Rozkład wyrażeń ...
- Klasówki (22)
- 7. Równania
- 8. Nierówności
- 9. Wykresy funkcji
- 10. Statystyka
- 10P Prawdopodobieństwo
- 11. Figury płaskie
- 11.1 Kąty utworzone przez prostą ...
- 11.2 Położenie prostej i ...
- 11.3 Wykorzystanie faktu, że ...
- 11.4 (>R) Położenie dwóch ...
- 11.5 Kąty środkowe. (>R) ...
- 11.6 Obliczanie długości okręgu....
- 11.7 Obliczanie długości łuku ...
- 11.8 Obliczanie pola koła....
- 11.9 Obliczanie pola pierścienia ...
- 11.10 Obliczanie pola wycinka ...
- 11.11 Twierdzenie Pitagorasa. ...
- 11.12 Kąty i przekątne w ...
- 11.12.2 Kąty i przekątne w ...
- 11.13 Obliczanie pól i obwodów ...
- 11.14 Zamiana jednostek pola....
- 11.15 (>R) Proporcje i reguła ...
- 11.16 (>R) Twierdzenie Talesa....
- 11.17 Powiększenie lub ...
- 11.18 Stosunek pól wielokątów ...
- 11.19 Wielokąty podobne i ...
- 11.20 Cechy przystawania ...
- 11.21 (>R) Cechy podobieństwa ...
- 11.22 Cechy podobieństwa ...
- 11.23 Figury symetryczne względem ...
- 11.24 Figury symetryczne względem ...
- 11.25 Figury, które mają oś ...
- 11.26 Figury, które mają środek ...
- 11.27 Symetralna odcinka, ...
- 11.28 Dwusieczna kąta, konstrukcja ...
- 11.29 Konstrukcje kątów 60°, ...
- 11.30 Okrąg opisany na ...
- 11.31 Okrąg wpisany w trójkąt, ...
- 11.32 Wielokąty foremne ...
- 11.33 (>R)Symetria w układzie ...
- Klasówki (66)
- 12. Bryły
- 12.1 Graniastosłup prawidłowy....
- 12.2 Ostrosłup prawidłowy....
- 12.3 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.4 Obliczanie pól powierzchni ...
- 12.5 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.6 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.7 Obliczanie pól powierzchni i ...
- 12.8 Zamiana jednostek objętości....
- 12.9 (>R)Przekroje brył....
- Klasówki (18)
- Klasy VII-VIII reforma 2017...
- Program III etap (2012r.)
- Wzory
- Nauczyciele
- Arkusze maturalne CKE matematyka
- Arkusze maturalne próbne MegaMatma z matematyki
- Wszystkie klasówki (200)
- 1. Liczby wymierne dodatnie
- Ponadpodstawowa
- 1. Liczby rzeczywiste
- 2. Wyrażenia algebraiczne
- 3. Równania i nierówności
- 3.1 Sprawdzanie czy dana liczba ...
- 3.2 Równania kwadratowe z jedną ...
- 3.3 Nierówności kwadratowe z ...
- 3.4 (R)Wzory Viète'a. ...
- 3.5 (R)Nierówności liniowe i ...
- 3.6 Układy równań pierwszego ...
- 3.7 (R)Układy równań ...
- 3.8 Rozwiązywanie równań typu ...
- 3.9 (R)Nierówności wielomianowe....
- 3.10 (R)Reszta z dzielenia ...
- 3.11 (R)Pierwiastki wymierne ...
- 3.12 (R)Rozwiązywanie równań ...
- 3.13 Rozwiązywanie równań ...
- 3.14 (R)Rozwiązywanie ...
- 3.15 (R)Rozwiązywanie równań i ...
- Klasówki (31)
- 4. Funkcje
- 4.1 Sposoby określania funkcji. ...
- 4.2 Obliczanie wartości funkcji ...
- 4.3 Rysowanie wykresów funkcji ...
- 4.3.2 Rysowanie wykresów funkcji ...
- 4.4 (R)Rysowanie wykresów ...
- 4.4.2 (R)Rysowanie wykresów ...
- 4.4.3 (R)Rysowanie wykresów ...
- 4.5 Wykres funkcji liniowej z ...
- 4.6 Wykres funkcji kwadratowej ze ...
- 4.7 Postać kanoniczna, ogólna i ...
- 4.8 Wartość najmniejsza i ...
- 4.9 Zastosowanie funkcji liniowej ...
- 4.10 Wykresy funkcji ...
- 4.11 (R)Wykresy funkcji ...
- 4.12 Zastosowania funkcji ...
- 4.13 (R)Zastosowania funkcji ...
- 4.14 Wykres funkcji f(x)=a/x, ...
- 4.15 (>R)Wykresy funkcji ...
- 4.16 (R)Wykresy funkcji danych ...
- Klasówki (30)
- 5. Ciągi
- 6. Trygonometria
- 6.1 (R)Miara łukowa kąta a ...
- 6.2 Sinus, cosinus i tangens ...
- 6.2.2 Wyznaczanie wartości funkcji ...
- 6.3 (R)Wyznaczanie wartości ...
- 6.4 Zależności między ...
- 6.5 (R)Okresowość funkcji ...
- 6.6 (R)Funkcje trygonometryczne ...
- 6.7 (R)Sinus sumy i cosinus sumy ...
- 6.8 (R)Równania i nierówności ...
- Klasówki (21)
- 7. Planimetria (Geometria na płaszczyźnie)
- 8. Geometria analityczna (Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej)
- 8.1 Równanie prostej ...
- 8.2 (R)Równoległość i ...
- 8.2.2 (R)Równoległość i ...
- 8.3 Punkt przecięcia dwóch ...
- 8.3.2 Punkt przecięcia dwóch ...
- 8.4 (R)Interpretacja graficzna ...
- 8.5 (R)Odległość punktu od ...
- 8.5.2 (R)Odległość punktu od ...
- 8.6 Obrazy figur w symetrii ...
- 8.7 (R)Współrzędne wektora i ...
- 8.7.2 (R)Współrzędne wektora i ...
- 8.8 (R)Przesunięcie wykresu ...
- Klasówki (26)
- 9. Stereometria
- 10. Elementy statystyki opisowej
- 11. Kombinatoryka i teoria prawdopodobieństwa
- 12. Rachunek różniczkowy
- Program IV etap (2012r.)
- Program reforma 2017...
- Wzory
- Nauczyciele
- Arkusze maturalne CKE matematyka
- Arkusze maturalne próbne MegaMatma z matematyki
- Wszystkie klasówki (200)
- Studia
- Wzory matematyczne
- Symbole
- Wiadomości praktyczne
- Wyrażenia algebraiczne
- Logarytmy
- Funkcje
- Trygonometria
- Analiza matematyczna
- Geometria analityczna
- Kombinatoryka
- Rach.prawdopodobieństwa
- Statystyka opisowa
- Planimetria
- Stereometria
- Logika matematyczna
- Algebra zbiorów
- Algebra liniowa
- Tabele
- Wzory do pobrania PDF
- Wzory
- Nauczyciele
- Arkusze maturalne CKE matematyka
- Arkusze maturalne próbne MegaMatma z matematyki
- Wszystkie klasówki (200)
- E-BOOKI MegaMatma